Réel, imaginaire pur - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les entiers \(n \in \mathbb{N}\) tels que :

1. le nombre \((1+i)^n\) soit un imaginaire pur ;

2. le nombre \((-2i)^n\)  soit un imaginaire pur de partie imaginaire négative ;

3. le nombre \((\sqrt{3}-i)^n\) soit un réel positif ;

4. le nombre \((1+i\sqrt{3})^n\) soit un imaginaire pur de partie imaginaire négative.

Solution

1. On a : \(\left\vert 1+i \right\vert=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\)   et donc
\(\begin{align*}1+i& = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{+1}{\sqrt{2}}\right)= \sqrt{2}\left( \cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)= \sqrt{2}\text e^{\frac{i\pi}{4}}.\end{align*}\)
Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ,
\(\begin{align*}(1+i)^n \in i\mathbb{R}& \Longleftrightarrow\arg((1+i)^n) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow n\arg(1+i) \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow\frac{n\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow n\equiv 2 \ [4]\end{align*}\)
donc \((1+i)^n\)  est un imaginaire pur si et seulement si, \(n=2+ 4k\) avec \(k \in \mathbb{N}\) .

2. On a \(-2i=-2\text e^{\frac{i\pi}{2}} = 2\text e^{i \pi + \frac{i\pi}{2}} = 2\text e^{\frac{3i\pi}{2}}\) ,  donc pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ,
\(\begin{align*}(-2i)^n \in i\mathbb{R} \text{ et }\text I\text m((-2i)^n) \leqslant 0& \Longleftrightarrow\arg((-2i)^n) \equiv \dfrac{-\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow n\arg(-2i) \equiv \dfrac{-\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\dfrac{3n\pi}{2} \equiv \dfrac{-\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow 3n \equiv -1 \ [4] \\& \Longleftrightarrow 3n \equiv 3 \ \left[4 \right] \\& \Longleftrightarrow n \equiv 1 \ \left[\dfrac{4}{3} \right]\end{align*}\)
Or, pour \(k' \in \mathbb{N}\) ,  \(1+ \dfrac{4}{3}k' \in \mathbb{N} \Longleftrightarrow k'=3k\)  avec  \(k \in \mathbb{N}\) .
Finalement, \((-2i)^n\)  est un imaginaire pur de partie imaginaire négative si, et seulement si, \(n=4k+1\) avec \(k \in \mathbb{N}\) .

3. On a : \(\left\vert \sqrt{3} -i \right\vert=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\)   et donc
\(\begin{align*}\sqrt{3} -i& = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2}i\right)= 2\left( \cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)= 2\text e^{-\frac{i\pi}{6}}.\end{align*}\)
Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ,
\(\begin{align*}(\sqrt{3}-i)^n \in \mathbb{R} \ \text{ et } \text R\text e((\sqrt{3} -i)^n) \geqslant 0& \Longleftrightarrow\arg((\sqrt{3}-i)^n) \equiv 0 \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow n\arg(\sqrt{3}-i) \equiv 0 \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\frac{-n\pi}{6} \equiv 0 \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow n \equiv 0 \ [12]\end{align*}\)
En conclusion, le nombre \((\sqrt{3}-i)^n\) est réel de partie réelle positive si, et seulement si, \(n=12k\) avec \(k \in \mathbb{N}\) .
4. On a : \(\left\vert 1+i\sqrt{3} \right\vert=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\)  et donc  \(\begin{align*}1+i\sqrt{3}& = 2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)= 2\left( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)= 2\text e^{\frac{i\pi}{3}}.\end{align*}\)
Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , 
\(\begin{align*}(1+i\sqrt{3})^n \in i\mathbb{R} \ \text{ et } \ \Im((1+i\sqrt{3})^n) \leqslant 0& \Longleftrightarrow \text a\text r\text g((1+i\sqrt{3})^n) \equiv -\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow n\arg(1+i\sqrt{3}) \equiv -\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow\frac{n\pi}{3} \equiv -\frac{\pi}{2} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow n \equiv -\frac{3}{2} \ [6]\end{align*}\)
ce qui est impossible, car \(n \in \mathbb{N}\) .
En conclusion, le nombre \((1+i\sqrt{3})^n\) n'est jamais un imaginaire pur de partie imaginaire négative, quelle que soit la valeur de \(n \in \mathbb{N}\) .